25 位菲尔兹奖得主联署之后：在AI惊天的“加速”下，有必要对数学焦虑吗
原创 何瑞杰、张倩 2026-09-17 14:30 日本
AI加速证明，谁来完成数学的后半程
导语
当 AI 开始以数十小时的速度攻克重大数学问题，数学界担忧的已不只是证明是否正确。陶哲轩等25位菲尔兹奖得主近日联合发出公开信，指出 AI 公司的解题竞赛与数学共同体对理解、解释和知识积累的追求正在发生“严重错位”。从 Navier-Stokes 方程的奇点构造，到研究优先权、论文署名、用户数据和形式化核验之争，这场风波警示我们，AI 可以加速证明的生成，但核验、整理、阐释与传承，仍是数学不可省略的后半程。
关键词：AI数学、陶哲轩、菲尔兹奖、Navier-Stokes 方程、形式化证明、Lean、学术署名、研究伦理
何瑞杰、张倩丨作者
赵思怡、李文韬、丁弘晖、谭夫有丨优化
贾伊阳、赵思怡丨审校
文章题目：A Severe Misalignment of AI in Mathematics
发表日期：2026 年 9 月 11 日
文章来源：Math and AI.
2026 年 9 月 11 日，陶哲轩在个人博客 What's new 上贴出一封公开信，标题是《人工智能在数学中的严重错位》（A Severe Misalignment of AI in Mathematics），同时在 mathandai.org 开放继续签名。25 位首批签署者全部是菲尔兹奖得主，其中有 1978 年获奖的 Pierre Deligne（比利时数学家，以证明韦伊猜想闻名），也有 2026 年刚在费城领奖的邓煜。Peter Scholze（2018 年菲尔兹奖得主，以创立“完美胚空间”理论闻名）、Maxim Kontsevich（1998 年菲尔兹奖得主，证明了威滕猜想）、许埈珥（2022 年菲尔兹奖得主，韩裔数学家，证明了罗塔猜想等长期未解的难题）、Maryna Viazovska（2022 年菲尔兹奖得主，证明了 8 维空间球体最密堆积问题）、Pierre-Louis Lions（1994 年菲尔兹奖得主，非线性偏微分方程与粘性解理论的奠基人）和陶哲轩（2006 年菲尔兹奖得主，与 Ben Green 合作证明素数中存在任意长的等差数列）的名字，都在这份名单上。
公开信开篇就写道，大语言模型的数学能力在过去几个月里急剧提升，已经能解决多个领域中重大的未决问题；然而，当 AI 公司把数学难题作为检验和推进模型能力的基准时，它们所追求的“解题成绩”，可能逐渐偏离数学共同体对理解、解释与方法积累的追求。公开信将这种目标差异称为人工智能在数学中的“严重错位”。
声明并不否认 AI 的研究价值。相反，签署者承认，AI 有望加速数学研究、促进人们对复杂问题的理解。他们担忧的是另一种趋势：在技术竞赛和发布压力下，结果可能在论文尚未充分整理、新方法尚未得到提炼、相关研究尚未被准确追溯时便匆忙公布。公开信发布前几天，一项流体方程研究引发的争论，已经从论文延伸至私人邮件、社交平台和一场由学生组织的数学活动，使这些问题变得格外具体。
不过，这封公开信没有点名任何公司，也没有对某一场争执作出事实裁决。它追问的是一个更普遍的问题：当证明的生产速度骤然提高，数学共同体是否还有足够的时间，向学生解释这些证明、整理和简化其中的方法，并追溯思想与贡献的来路？
三项奇点结果密集发布
纽约大学数学教授 Tristan Buckmaster 与在 Anthropic 任职的合作者 Levent Alpöge 公布了三项结果，分别涉及不可压缩多孔介质方程、Boussinesq 系统和三维不可压缩 Euler 方程。在这些不同的系统中，他们分别构造出了这样的例子：在光滑外力作用下，解可以在有限时间内形成奇点。他们使用了 Claude、Codex 等工具，但 Buckmaster 特别说明，这是一项私人学术合作，不涉及双方雇主的机构协议。在自己的公开声明中，Buckmaster 首先交代了这项研究的来路，提到 Diego Córdoba 和 Luis Martínez-Zoroa 的工作。据 Buckmaster 介绍，两人此前已研究外力作用下的奇点构造多年。他和 Alpöge 以这些工作为起点，借助智能体工具提高外力的光滑程度，并把方法推进到 Euler 方程。
据 Buckmaster 回忆，过去一年中的大部分时间，研究进展缓慢；8 月 15 日，他们取得了 Boussinesq 和 Euler 方程的相关结果；8 月 22 日，一份模型生成的证明通过了形式化定理证明器 Lean 的核验。此后，他们仍在理解证明，试着把它写成同行能够阅读的论文，但 Buckmaster 仍不满意最终公开的文稿，坦承其中部分内容仍很接近模型在人类指导下生成的初稿。他原本希望再花几周时间整理，却感受到了外部的发布压力。
9 月 8 日，OpenAI 宣布，其内部的智能体系统找到了 Navier-Stokes 方程解的存在性与光滑性问题的一个解答，并公开证明文稿与 Lean 形式化代码。这是 Clay 数学研究所列出的七个千禧年大奖难题之一，每题悬赏 100 万美元。公司公布的计算规模引人注目：产生这一结果的系统中有约一万个同时工作的智能体，从首批智能体启动到得到结果，约耗时 88 小时；随后通过 GPT-6 Astra 进行形式化与验证，用时约 17 小时。 Navier-Stokes 问题的求解过程消耗了约 1300 亿输出 token。这些数字仅记录公司此次计算的规模，并不包括此前研究者用来选择问题、发展方法的时间。
光滑外力下的奇点构造
文章题目：On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem
文章链接：https://openai.com/index/navier-stokes-solution/
发表日期：2026 年 9 月 8 日
文章来源：openai
OpenAI 宣称解决的是三维不可压缩、密度恒定的流体的 Navier-Stokes 问题。假设流体为连续介质，方程描述其中的速度、压力与黏性作用如何共同影响流体随时间的运动。介质流动会输运动量，其黏性则起到平滑各点之间速度差异的作用。所谓正则性问题，核心在于讨论：从光滑的初始状态出发，黏性是否足以保证流场始终保持光滑，还是仍可能在有限时间内形成奇点。OpenAI 公布的论文构造了一种带光滑外力的情形。流体最初处于静止状态，在外力作用下逐渐形成向内盘旋并沿轴向伸展的涡结构。按照论文所述，临近某个有限时刻，流场中会出现超过任意给定上限的速度，而整个过程中的总动能始终受同一个有限上界控制。在这个构造中，外力本身没有被人为设为无穷大；构造的困难在于，让方程中的各项以特定方式相互平衡，在外力仍然光滑时让系统产生奇点。
带外力的奇点构造具有明确的题面依据。Charles Fefferman 为 Clay 研究所撰写的官方题面，允许证明四种陈述中的任意一种。其中 C、D 均为反例型结论，分别讨论整个三维空间和周期空间，允许符合规定条件的光滑外力存在。OpenAI 声称其证明满足这两种表述。若该主张经独立核验成立，它就证明了 Clay 官方题面允许的结论，满足了这一悬赏问题的数学要求。受外力驱动的流动与没有外力时的自由演化，对应不同的物理情形。这里构造的带外力反例，并未回答无外力条件下的正则性问题。
此外，OpenAI 还称，它的智能体集群得到了无外力 Euler 方程的相关奇点结果。相比 Navier-Stokes 方程，Euler 方程省去了黏性项。无外力 Euler 方程中的奇点结果，不能直接推广到保留黏性项的无外力 Navier-Stokes 方程。
论文是否证明了题面所列命题，与成果是否获得 Clay 数学研究所的正式认定，也需要分别讨论。按照研究所的程序，候选成果需要在符合要求的渠道发表，发表后至少经过两年检验，并获得数学共同体的普遍接受。OpenAI 表示不准备申领奖金。现阶段 OpenAI 已经宣称证明了题面允许的反例型命题，但该证明仍有待独立核验，也尚未获得 Clay 数学研究所的正式认定。
发布竞争背后的优先权、署名与数据争议
随后的争议主要集中在四个相互关联的问题上：研究优先权、发布时间、论文署名和用户数据的使用。
Buckmaster 在声明中附上了一封 9 月 3 日的邮件。当时，有传闻称 Anthropic 解决了一个重大问题。他担心传闻混淆了研究内容和合作性质，因此直接写信给 OpenAI 的一位数学家，说明他们的工作，并强调他不愿把未经充分整理的预印本连同 Lean 证明证书匆忙发布，希望同行首先读到的是按通常方式写成的数学论证。据他公布的往来记录，对方曾在 9 月 4 日询问能否当天见面，他仍希望安排在下一周。9 月 6 日中午，对方再次询问当天是否有时间。
据 Buckmaster 回忆，9 月 6 日下午，他与包括 Bubeck 在内的 OpenAI 人员通话两次，Alpöge 未参加。他追问公司何时启动研究，以及人类参与了多少。光滑外力正是他们选择推进的路线；据他转述，对方确认相关尝试始于获知他们的研究进展之后。他继而询问，自己长期输入 Codex 的草稿是否被用于模型训练，或供解题系统访问。
争执还涉及一篇拟议中的新论文。Buckmaster 称，对方提出由他单独撰文介绍 OpenAI 的 Navier-Stokes 方程结果，并以 Alpöge 受雇于 Anthropic 为由排除其署名。他拒绝了相关安排，并表示将公开交涉经过。据他的转述，随后出现了“你为什么要毁掉自己的职业生涯”这样的措辞。
Bubeck 在后续回应中否认要求从 Alpöge 自己的研究论文中删去他的署名，称通话讨论的是如何重写 OpenAI 的证明。对于这篇拟议中的新论文，他承认，自己认为由 Anthropic 员工署名介绍 OpenAI 的工作并不合适。他对涉及职业生涯的措辞道了歉，称自己当场已经撤回相关措辞，并否认自己有威胁的意图。
OpenAI 称，9 月 1 日听到两个千禧年问题可能被解决的传闻后，启动了多个问题的测试。OpenAI 在 9 月 6 日完成项目及 Lean 代码的核验后，以为 Buckmaster 与 Alpöge 也已解决 Navier-Stokes 问题，因此提出协调发布并承认其优先权。OpenAI 还称，在对方公开成果前，没有通过任何途径看到其工作。OpenAI 最初否认为解决问题而访问特定用户数据，但未排除去标识化使用数据帮助改进模型的可能性。而 9 月 10 日更新后的官方页面称，经调查，Buckmaster 此前两个月的 Codex 提示词不可能以包括训练在内的任何方式影响该系统。
这场争议中包含几个需要分别判断的问题。OpenAI 何时获知 Buckmaster 与 Alpöge 的研究方向，是否看过两人的私人草稿，用户输入是否通过训练或其他机制影响了解题系统，以及双方如何协商成果的发布时间与署名。一个问题上的证据，不能自动证明另一个问题。Buckmaster 本人也在声明末尾限定了自己的主张。他表示，撰写声明时自己尚未看过 OpenAI 的证明，不知道模型具体如何得到这一结果，也无法判断自己的数据是否曾被使用。他公开的是双方交涉的经过，以及由此产生的疑问，而不是在缺少证据的情况下断言 OpenAI 使用了他与 Alpöge 的私人研究数据。
从弱解到形式化核验
判断一项证明究竟解决了什么问题，不能只看方程的名称。Charles Fefferman 为 Clay 数学研究所撰写的官方题面，不仅规定了 Navier-Stokes 方程本身，还规定了空间范围、初始状态、外力，以及解应满足的光滑性、衰减性和能量条件。在整个三维空间中，速度场需要具有适当的空间衰减，并保持有限能量；在周期空间中，则以周期边界条件描述流体所在的空间。因此，仅仅宣称“求得了 Navier-Stokes 方程的解”，还不能说明这项结果对应题面中的哪一种命题。
题面中的这些要求，需要借助函数空间得到精确表达，这正是泛函分析在流体方程中发挥作用的地方。例如，当密度恒定时，速度场属于 L² 空间，可以对应总动能有限；Sobolev 空间则进一步考察速度场的空间变化，把一定阶数导数的可积性也纳入要求。由此，每一时刻的完整速度场都可以被视为函数空间中的一个点，流体的演化则表现为这个点随时间移动的轨迹。研究者由此可以追问：在演化过程中，有限能量、可微性和其他正则性质能否一直得到保持？
1934 年，Jean Leray 证明了三维 Navier-Stokes 方程的一类全局广义解的存在性。这里的广义解称为弱解，它在积分意义下满足方程，容许比经典光滑解更粗糙的行为。这个结果让数学家能够继续讨论流动的长期演化，同时留下了正则性和唯一性方面的困难。
研究的一个起点是能量估计。在适当的边界或衰减条件下，不可压缩流动中的总动能不被对流项改变，却受黏性耗散和外力做功影响。Jean Leray 通过正则化等步骤构造近似解，再利用估计与紧性论证取极限。
然而这些方法取得的控制，并不足以保证解始终光滑。现代通常讨论的 Leray–Hopf 弱解，除了有限能量，还满足梯度的时空积分控制和能量不等式；即便如此，也不能仅凭这些条件排除局部的剧烈变化。
此后，一系列正则性准则给出了排除奇点的充分条件。Caffarelli、Kohn、Nirenberg 在 1982 年证明，对满足局部能量不等式等条件的适当弱解，潜在奇点集合的大小受到很强的限制。2019 年，Buckmaster 与 Vlad Vicol 在《数学年刊》发表了有限能量弱解不唯一的构造；其解的类别比 Leray–Hopf 类更大。
Lean 能够严格检查一套形式化推导是否遵守既定的逻辑规则，但形式化核验并不会自动回答所有问题。研究者仍需确认：输入 Lean 的形式命题是否准确对应论文声称的结论，是否完整表达了 Clay 题面中的初始状态、外力、光滑性和解空间，以及证明是否引入了题面之外的额外假设。只有形式化对象本身表达准确，Lean 核验通过才足以支持原有的数学主张。因此，形式化验证、人工说明和独立核验承担着不同的任务。Lean 检查推导能否成立，数学家判断被证明的命题是否确实是原先提出的问题，并进一步辨认其中的新方法、适用边界和思想来源。围绕发布时间、论文署名或用户数据的争议需要单独调查，但这些争议不能代替对证明本身的判断；反过来，证明在形式系统中成立，也不能自动消除研究过程中的署名和数据问题。
被压缩的“数学后半程”
9 月 11 日的联合声明中写道，几代数学家积累了大量思想、方法与抽象工具。著名问题往往标记着人们对这些结构的理解程度。一个问题得到解决后，新方法还要经过报告、讨论和简化，才可能进入研究生乃至本科生的教材。
他们担心，留给讲解和整理的时间会越来越少。研究中花在学生培养、方法解释和问题形成上的年月，很难只用“解出了多少题”衡量。这份公开信也提出了可以落实的要求：给成果可读的说明，保留贡献的来路，并为后续研究留下条件。
Buckmaster 自己那份尚不满意的文稿，就是这种担忧的一个面向。他借助模型取得了进展，也承认公开的文本没有达到自己的标准。一次形式化核验结束以后，研究者还需要查验哪些步骤是真正的新想法，哪些地方可以缩短，以及后来者能否据此完成另一个证明。
数学共同体内的回应
另一位 2026 年菲尔兹奖得主 Jacob Tsimerman 宣布暂离多伦多大学的日常工作，加入 OpenAI 从事 AI 安全研究。他希望把数学用于理解和约束这些系统。
在加州理工学院，围绕名为 Mathathon 的 AI 辅助数学活动，争论进一步涉及竞赛规则与研究激励。9 月 10 日，OpenAI 确认不再赞助这场活动。此前，该校的部分现任和前任数学工作者发表公开信，批评 Mathathon 的相关宣传与研究激励。相关报道呈现了这一先后顺序，公开材料不足以据此确定撤资动机。组织者也作出了回应。他们撤回了容易造成误解的宣传表述，并说明活动设有六个月的核验阶段，以及制作讲义、视频讲解和更简洁证明的教育赛道。回应后来进一步明确，核验阶段要求在 arXiv 公开预印本。六个月的核验期并非争议后临时增加；组织者也承认，无法保证所有产出都达到数学共同体的标准。
9 月 11 日，Andreas Thom 在陶哲轩博客的客座文章中，回顾了一个多月前围绕非 sofic 群结果的争议。OpenAI 的论证使用了他与 Gábor Kun 的工作，宣传却曾称该方向多年没有进展。他提出异议后，对方修改了表述。随后，他和 Kun 继续研究新结果所涉及的思想，写出了后续论文。与此同时，他对自己的研究数据如何被处理仍存疑虑。
把新证明整理成人能理解的文本，也已有具体尝试。5 月 20 日，Noga Alon、Timothy Gowers 等九位数学家将一篇说明性预印本上传 arXiv。他们重新整理了模型生成的单位距离猜想反例，进行了人工核验，并追溯论证所用的思想。Tsimerman 也是这篇说明性论文的作者之一。这样的工作说明，成果被吸收的过程仍在发生；这一过程需要投入，也需要让核验、整理和阐释工作获得相应的学术承认。
理解证明，仍然需要基础数学
从一份证明中辨认出可以迁移到其他问题的方法，前提是理解它所依赖的概念。在前述流体问题中，函数空间并不是附加在方程之外的抽象语言，而是用来规定什么对象可以被称为“解”，以及这个解应满足哪些能量、光滑性和可积性条件。这种语言也连接着现代物理和人工智能。20 世纪初，David Hilbert（希尔伯特）在研究积分方程和谱问题时发展出相关的抽象框架；20 世纪 20 年代，量子力学的建立又与 Hilbert 空间理论相互推动。John von Neumann（冯·诺依曼）在 1927 年的研究及 1932 年的著作中，进一步系统化了二者的联系。具体的物理问题推动数学家重新组织概念，而抽象空间与算子理论又使不同的物理现象能够在同一套语言中得到描述。
这种由具体问题推动抽象方法、再由抽象方法连接不同领域的传统，也体现在 2026 年的菲尔兹奖成果中。王虹因调和分析与几何测度论方面的工作获奖；邓煜的获奖工作包括从硬球动力学推导 Boltzmann 方程，以及从非线性色散系统推导波动动理学方程等。他的研究连接着微观粒子运动、气体的统计描述与非线性波动。这也提示了 AI 数学评价中的一个局限：一道问题是否被解决，只能显示结果的一部分。证明是否建立了新的概念联系，是否形成可以迁移的方法，以及是否改变了人们理解问题的方式，同样属于数学成果的核心价值。
另一方面，函数空间的语言也进入了人工智能研究。1989 年，Cybenko 证明，采用连续 S 形激活函数、允许增加隐层宽度的单隐层网络，可以在单位超立方体上一致逼近任意连续函数，达到预先指定的精度，这被称为通用逼近定理（universal approximation theorem）。证明用到了 Hahn-Banach 定理和 Riesz 表示定理。但这类存在性结论并未自动给出高效的训练方法，也不保证训练算法一定找到所需的网络。
神经算子则直接把函数之间的映射作为学习对象。例如，学习从方程的系数或初始条件到解的映射。相关框架希望同一组参数能够用于不同的离散化；这一设计并不保证任意改变网格后，预测精度都保持不变。要讨论误差和收敛，仍须说明函数空间、目标算子和离散化方式等条件。
这些例子说明了学习基础数学的一个朴素理由：无论证明来自人类还是 AI，读者都需要判断它依赖哪些定义和假设，结论能够延伸到什么范围，又会在什么条件下失效。泛函分析提供了描述函数、算子和收敛性的基本语言；其他数学分支也各自提供了不可替代的判断工具。AI 可以加快结果的产生，却不能取消理解这些结果所需的概念基础。
集智俱乐部公众号此前发表过一篇文章《AI 时代，为什么要学泛函分析？》，文中提到，大模型已经能自动推导公式、自动写代码，于是“有了大模型，数学基本功不必再啃”在大学生里流行起来；那篇文章的回答是，工具能替你推导，前提是你给得出正确的问题、判得了它对不对，把“工具替你干活”混同于“你不需要懂”，才是这个说法真正的漏洞。眼下的这场争论，把同一个问题推到了更大的尺度上：AI 都能给出证明了，人还要不要理解它。
泛函分析（二）：
重新理解AI的底层逻辑
集智学园联合东京都市大学贾伊阳老师共同开设「面向应用的泛函分析」第二期课程。本期课程将在函数空间、Hilbert 空间与对偶空间等基础上，把第一期介绍的泛函分析直观概念，发展为可计算、能证明、有助于阅读和写作人工智能领域论文的研究工具。课程共十讲，围绕“算子基础与变分”、“连续深度模型”、“分布与生成模型”和“算子与智能体”四个板块展开。首先讨论解的存在性、稳定性与优化方法，随后进入 Neural ODE、DEQ 等连续深度模型，再从概率测度空间理解扩散模型与流匹配，最终延伸至神经算子、连续注意力、Bellman 算子及多智能体系统，建立泛函分析与现代人工智能之间的系统联系。
详情请见：新课上线｜贾伊阳：泛函分析（二）重新理解AI的底层逻辑
人工智能与数学读书会第二季
人工智能的能力边界正在不断扩张，大模型可以完成复杂对话、辅助科学计算，甚至尝试开展数学推导与定理证明。但光鲜的应用表象之下，AI 的能力上限、推理缺陷与建模困境也逐步暴露。当我们惊叹人工智能的各类能力时，更需要向下追问：是什么构筑起 AI 的能力地基？当 AI 走向科学研究，它又能在数学这片严谨的土地上走多远？想要看透 AI 的优势与短板，就必须回归数学底层，从根源审视人工智能与数学之间相辅相成又彼此制约的复杂关系。
为厘清 AI 在科学与数学领域的机遇与局限，集智俱乐部联合同济大学数学科学学院长聘副教授陈小杨、北京工业大学数学统计学与力学学院副研究员诸葛昌靖共同发起「人工智能与数学」读书会第二季。组织对该主题感兴趣的研究者与探索者共同研读前沿文献、交流研究思路。
读书会将于2026年9月22日起，每周二19:30-21:30线上开展，持续8-10周，包含主讲分享与讨论交流，并提供会后视频回放，诚邀相关领域研究者及跨学科兴趣者参与。
参考资料
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文章题目：A Severe Misalignment of AI in Mathematics
发表日期：2026 年 9 月 11 日
文章来源：Math and AI.
2026 年 9 月 11 日，陶哲轩在个人博客 What's new 上贴出一封公开信，标题是《人工智能在数学中的严重错位》（A Severe Misalignment of AI in Mathematics），同时在 mathandai.org 开放继续签名。25 位首批签署者全部是菲尔兹奖得主，其中有 1978 年获奖的 Pierre Deligne（比利时数学家，以证明韦伊猜想闻名），也有 2026 年刚在费城领奖的邓煜。Peter Scholze（2018 年菲尔兹奖得主，以创立“完美胚空间”理论闻名）、Maxim Kontsevich（1998 年菲尔兹奖得主，证明了威滕猜想）、许埈珥（2022 年菲尔兹奖得主，韩裔数学家，证明了罗塔猜想等长期未解的难题）、Maryna Viazovska（2022 年菲尔兹奖得主，证明了 8 维空间球体最密堆积问题）、Pierre-Louis Lions（1994 年菲尔兹奖得主，非线性偏微分方程与粘性解理论的奠基人）和陶哲轩（2006 年菲尔兹奖得主，与 Ben Green 合作证明素数中存在任意长的等差数列）的名字，都在这份名单上。
公开信开篇就写道，大语言模型的数学能力在过去几个月里急剧提升，已经能解决多个领域中重大的未决问题；然而，当 AI 公司把数学难题作为检验和推进模型能力的基准时，它们所追求的“解题成绩”，可能逐渐偏离数学共同体对理解、解释与方法积累的追求。公开信将这种目标差异称为人工智能在数学中的“严重错位”。
声明并不否认 AI 的研究价值。相反，签署者承认，AI 有望加速数学研究、促进人们对复杂问题的理解。他们担忧的是另一种趋势：在技术竞赛和发布压力下，结果可能在论文尚未充分整理、新方法尚未得到提炼、相关研究尚未被准确追溯时便匆忙公布。公开信发布前几天，一项流体方程研究引发的争论，已经从论文延伸至私人邮件、社交平台和一场由学生组织的数学活动，使这些问题变得格外具体。
不过，这封公开信没有点名任何公司，也没有对某一场争执作出事实裁决。它追问的是一个更普遍的问题：当证明的生产速度骤然提高，数学共同体是否还有足够的时间，向学生解释这些证明、整理和简化其中的方法，并追溯思想与贡献的来路？
三项奇点结果密集发布
三项奇点结果密集发布
纽约大学数学教授 Tristan Buckmaster 与在 Anthropic 任职的合作者 Levent Alpöge 公布了三项结果，分别涉及不可压缩多孔介质方程、Boussinesq 系统和三维不可压缩 Euler 方程。在这些不同的系统中，他们分别构造出了这样的例子：在光滑外力作用下，解可以在有限时间内形成奇点。他们使用了 Claude、Codex 等工具，但 Buckmaster 特别说明，这是一项私人学术合作，不涉及双方雇主的机构协议。在自己的公开声明中，Buckmaster 首先交代了这项研究的来路，提到 Diego Córdoba 和 Luis Martínez-Zoroa 的工作。据 Buckmaster 介绍，两人此前已研究外力作用下的奇点构造多年。他和 Alpöge 以这些工作为起点，借助智能体工具提高外力的光滑程度，并把方法推进到 Euler 方程。
据 Buckmaster 回忆，过去一年中的大部分时间，研究进展缓慢；8 月 15 日，他们取得了 Boussinesq 和 Euler 方程的相关结果；8 月 22 日，一份模型生成的证明通过了形式化定理证明器 Lean 的核验。此后，他们仍在理解证明，试着把它写成同行能够阅读的论文，但 Buckmaster 仍不满意最终公开的文稿，坦承其中部分内容仍很接近模型在人类指导下生成的初稿。他原本希望再花几周时间整理，却感受到了外部的发布压力。
9 月 8 日，OpenAI 宣布，其内部的智能体系统找到了 Navier-Stokes 方程解的存在性与光滑性问题的一个解答，并公开证明文稿与 Lean 形式化代码。这是 Clay 数学研究所列出的七个千禧年大奖难题之一，每题悬赏 100 万美元。公司公布的计算规模引人注目：产生这一结果的系统中有约一万个同时工作的智能体，从首批智能体启动到得到结果，约耗时 88 小时；随后通过 GPT-6 Astra 进行形式化与验证，用时约 17 小时。 Navier-Stokes 问题的求解过程消耗了约 1300 亿输出 token。这些数字仅记录公司此次计算的规模，并不包括此前研究者用来选择问题、发展方法的时间。
光滑外力下的奇点构造
光滑外力下的奇点构造
文章题目：On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem
文章链接：https://openai.com/index/navier-stokes-solution/
发表日期：2026 年 9 月 8 日
文章来源：openai
OpenAI 宣称解决的是三维不可压缩、密度恒定的流体的 Navier-Stokes 问题。假设流体为连续介质，方程描述其中的速度、压力与黏性作用如何共同影响流体随时间的运动。介质流动会输运动量，其黏性则起到平滑各点之间速度差异的作用。所谓正则性问题，核心在于讨论：从光滑的初始状态出发，黏性是否足以保证流场始终保持光滑，还是仍可能在有限时间内形成奇点。OpenAI 公布的论文构造了一种带光滑外力的情形。流体最初处于静止状态，在外力作用下逐渐形成向内盘旋并沿轴向伸展的涡结构。按照论文所述，临近某个有限时刻，流场中会出现超过任意给定上限的速度，而整个过程中的总动能始终受同一个有限上界控制。在这个构造中，外力本身没有被人为设为无穷大；构造的困难在于，让方程中的各项以特定方式相互平衡，在外力仍然光滑时让系统产生奇点。
带外力的奇点构造具有明确的题面依据。Charles Fefferman 为 Clay 研究所撰写的官方题面，允许证明四种陈述中的任意一种。其中 C、D 均为反例型结论，分别讨论整个三维空间和周期空间，允许符合规定条件的光滑外力存在。OpenAI 声称其证明满足这两种表述。若该主张经独立核验成立，它就证明了 Clay 官方题面允许的结论，满足了这一悬赏问题的数学要求。受外力驱动的流动与没有外力时的自由演化，对应不同的物理情形。这里构造的带外力反例，并未回答无外力条件下的正则性问题。
此外，OpenAI 还称，它的智能体集群得到了无外力 Euler 方程的相关奇点结果。相比 Navier-Stokes 方程，Euler 方程省去了黏性项。无外力 Euler 方程中的奇点结果，不能直接推广到保留黏性项的无外力 Navier-Stokes 方程。
论文是否证明了题面所列命题，与成果是否获得 Clay 数学研究所的正式认定，也需要分别讨论。按照研究所的程序，候选成果需要在符合要求的渠道发表，发表后至少经过两年检验，并获得数学共同体的普遍接受。OpenAI 表示不准备申领奖金。现阶段 OpenAI 已经宣称证明了题面允许的反例型命题，但该证明仍有待独立核验，也尚未获得 Clay 数学研究所的正式认定。
发布竞争背后的优先权、署名与数据争议
发布竞争背后的优先权、署名与数据争议
随后的争议主要集中在四个相互关联的问题上：研究优先权、发布时间、论文署名和用户数据的使用。
Buckmaster 在声明中附上了一封 9 月 3 日的邮件。当时，有传闻称 Anthropic 解决了一个重大问题。他担心传闻混淆了研究内容和合作性质，因此直接写信给 OpenAI 的一位数学家，说明他们的工作，并强调他不愿把未经充分整理的预印本连同 Lean 证明证书匆忙发布，希望同行首先读到的是按通常方式写成的数学论证。据他公布的往来记录，对方曾在 9 月 4 日询问能否当天见面，他仍希望安排在下一周。9 月 6 日中午，对方再次询问当天是否有时间。
据 Buckmaster 回忆，9 月 6 日下午，他与包括 Bubeck 在内的 OpenAI 人员通话两次，Alpöge 未参加。他追问公司何时启动研究，以及人类参与了多少。光滑外力正是他们选择推进的路线；据他转述，对方确认相关尝试始于获知他们的研究进展之后。他继而询问，自己长期输入 Codex 的草稿是否被用于模型训练，或供解题系统访问。
争执还涉及一篇拟议中的新论文。Buckmaster 称，对方提出由他单独撰文介绍 OpenAI 的 Navier-Stokes 方程结果，并以 Alpöge 受雇于 Anthropic 为由排除其署名。他拒绝了相关安排，并表示将公开交涉经过。据他的转述，随后出现了“你为什么要毁掉自己的职业生涯”这样的措辞。
Bubeck 在后续回应中否认要求从 Alpöge 自己的研究论文中删去他的署名，称通话讨论的是如何重写 OpenAI 的证明。对于这篇拟议中的新论文，他承认，自己认为由 Anthropic 员工署名介绍 OpenAI 的工作并不合适。他对涉及职业生涯的措辞道了歉，称自己当场已经撤回相关措辞，并否认自己有威胁的意图。
OpenAI 称，9 月 1 日听到两个千禧年问题可能被解决的传闻后，启动了多个问题的测试。OpenAI 在 9 月 6 日完成项目及 Lean 代码的核验后，以为 Buckmaster 与 Alpöge 也已解决 Navier-Stokes 问题，因此提出协调发布并承认其优先权。OpenAI 还称，在对方公开成果前，没有通过任何途径看到其工作。OpenAI 最初否认为解决问题而访问特定用户数据，但未排除去标识化使用数据帮助改进模型的可能性。而 9 月 10 日更新后的官方页面称，经调查，Buckmaster 此前两个月的 Codex 提示词不可能以包括训练在内的任何方式影响该系统。
这场争议中包含几个需要分别判断的问题。OpenAI 何时获知 Buckmaster 与 Alpöge 的研究方向，是否看过两人的私人草稿，用户输入是否通过训练或其他机制影响了解题系统，以及双方如何协商成果的发布时间与署名。一个问题上的证据，不能自动证明另一个问题。Buckmaster 本人也在声明末尾限定了自己的主张。他表示，撰写声明时自己尚未看过 OpenAI 的证明，不知道模型具体如何得到这一结果，也无法判断自己的数据是否曾被使用。他公开的是双方交涉的经过，以及由此产生的疑问，而不是在缺少证据的情况下断言 OpenAI 使用了他与 Alpöge 的私人研究数据。
从弱解到形式化核验
从弱解到形式化核验
判断一项证明究竟解决了什么问题，不能只看方程的名称。Charles Fefferman 为 Clay 数学研究所撰写的官方题面，不仅规定了 Navier-Stokes 方程本身，还规定了空间范围、初始状态、外力，以及解应满足的光滑性、衰减性和能量条件。在整个三维空间中，速度场需要具有适当的空间衰减，并保持有限能量；在周期空间中，则以周期边界条件描述流体所在的空间。因此，仅仅宣称“求得了 Navier-Stokes 方程的解”，还不能说明这项结果对应题面中的哪一种命题。
题面中的这些要求，需要借助函数空间得到精确表达，这正是泛函分析在流体方程中发挥作用的地方。例如，当密度恒定时，速度场属于 L² 空间，可以对应总动能有限；Sobolev 空间则进一步考察速度场的空间变化，把一定阶数导数的可积性也纳入要求。由此，每一时刻的完整速度场都可以被视为函数空间中的一个点，流体的演化则表现为这个点随时间移动的轨迹。研究者由此可以追问：在演化过程中，有限能量、可微性和其他正则性质能否一直得到保持？
1934 年，Jean Leray 证明了三维 Navier-Stokes 方程的一类全局广义解的存在性。这里的广义解称为弱解，它在积分意义下满足方程，容许比经典光滑解更粗糙的行为。这个结果让数学家能够继续讨论流动的长期演化，同时留下了正则性和唯一性方面的困难。
研究的一个起点是能量估计。在适当的边界或衰减条件下，不可压缩流动中的总动能不被对流项改变，却受黏性耗散和外力做功影响。Jean Leray 通过正则化等步骤构造近似解，再利用估计与紧性论证取极限。
然而这些方法取得的控制，并不足以保证解始终光滑。现代通常讨论的 Leray–Hopf 弱解，除了有限能量，还满足梯度的时空积分控制和能量不等式；即便如此，也不能仅凭这些条件排除局部的剧烈变化。
此后，一系列正则性准则给出了排除奇点的充分条件。Caffarelli、Kohn、Nirenberg 在 1982 年证明，对满足局部能量不等式等条件的适当弱解，潜在奇点集合的大小受到很强的限制。2019 年，Buckmaster 与 Vlad Vicol 在《数学年刊》发表了有限能量弱解不唯一的构造；其解的类别比 Leray–Hopf 类更大。
Lean 能够严格检查一套形式化推导是否遵守既定的逻辑规则，但形式化核验并不会自动回答所有问题。研究者仍需确认：输入 Lean 的形式命题是否准确对应论文声称的结论，是否完整表达了 Clay 题面中的初始状态、外力、光滑性和解空间，以及证明是否引入了题面之外的额外假设。只有形式化对象本身表达准确，Lean 核验通过才足以支持原有的数学主张。因此，形式化验证、人工说明和独立核验承担着不同的任务。Lean 检查推导能否成立，数学家判断被证明的命题是否确实是原先提出的问题，并进一步辨认其中的新方法、适用边界和思想来源。围绕发布时间、论文署名或用户数据的争议需要单独调查，但这些争议不能代替对证明本身的判断；反过来，证明在形式系统中成立，也不能自动消除研究过程中的署名和数据问题。
被压缩的“数学后半程”
被压缩的“数学后半程”
9 月 11 日的联合声明中写道，几代数学家积累了大量思想、方法与抽象工具。著名问题往往标记着人们对这些结构的理解程度。一个问题得到解决后，新方法还要经过报告、讨论和简化，才可能进入研究生乃至本科生的教材。
他们担心，留给讲解和整理的时间会越来越少。研究中花在学生培养、方法解释和问题形成上的年月，很难只用“解出了多少题”衡量。这份公开信也提出了可以落实的要求：给成果可读的说明，保留贡献的来路，并为后续研究留下条件。
Buckmaster 自己那份尚不满意的文稿，就是这种担忧的一个面向。他借助模型取得了进展，也承认公开的文本没有达到自己的标准。一次形式化核验结束以后，研究者还需要查验哪些步骤是真正的新想法，哪些地方可以缩短，以及后来者能否据此完成另一个证明。
数学共同体内的回应
数学共同体内的回应
另一位 2026 年菲尔兹奖得主 Jacob Tsimerman 宣布暂离多伦多大学的日常工作，加入 OpenAI 从事 AI 安全研究。他希望把数学用于理解和约束这些系统。
在加州理工学院，围绕名为 Mathathon 的 AI 辅助数学活动，争论进一步涉及竞赛规则与研究激励。9 月 10 日，OpenAI 确认不再赞助这场活动。此前，该校的部分现任和前任数学工作者发表公开信，批评 Mathathon 的相关宣传与研究激励。相关报道呈现了这一先后顺序，公开材料不足以据此确定撤资动机。组织者也作出了回应。他们撤回了容易造成误解的宣传表述，并说明活动设有六个月的核验阶段，以及制作讲义、视频讲解和更简洁证明的教育赛道。回应后来进一步明确，核验阶段要求在 arXiv 公开预印本。六个月的核验期并非争议后临时增加；组织者也承认，无法保证所有产出都达到数学共同体的标准。
9 月 11 日，Andreas Thom 在陶哲轩博客的客座文章中，回顾了一个多月前围绕非 sofic 群结果的争议。OpenAI 的论证使用了他与 Gábor Kun 的工作，宣传却曾称该方向多年没有进展。他提出异议后，对方修改了表述。随后，他和 Kun 继续研究新结果所涉及的思想，写出了后续论文。与此同时，他对自己的研究数据如何被处理仍存疑虑。
把新证明整理成人能理解的文本，也已有具体尝试。5 月 20 日，Noga Alon、Timothy Gowers 等九位数学家将一篇说明性预印本上传 arXiv。他们重新整理了模型生成的单位距离猜想反例，进行了人工核验，并追溯论证所用的思想。Tsimerman 也是这篇说明性论文的作者之一。这样的工作说明，成果被吸收的过程仍在发生；这一过程需要投入，也需要让核验、整理和阐释工作获得相应的学术承认。
理解证明，仍然需要基础数学
理解证明，仍然需要基础数学
从一份证明中辨认出可以迁移到其他问题的方法，前提是理解它所依赖的概念。在前述流体问题中，函数空间并不是附加在方程之外的抽象语言，而是用来规定什么对象可以被称为“解”，以及这个解应满足哪些能量、光滑性和可积性条件。这种语言也连接着现代物理和人工智能。20 世纪初，David Hilbert（希尔伯特）在研究积分方程和谱问题时发展出相关的抽象框架；20 世纪 20 年代，量子力学的建立又与 Hilbert 空间理论相互推动。John von Neumann（冯·诺依曼）在 1927 年的研究及 1932 年的著作中，进一步系统化了二者的联系。具体的物理问题推动数学家重新组织概念，而抽象空间与算子理论又使不同的物理现象能够在同一套语言中得到描述。
这种由具体问题推动抽象方法、再由抽象方法连接不同领域的传统，也体现在 2026 年的菲尔兹奖成果中。王虹因调和分析与几何测度论方面的工作获奖；邓煜的获奖工作包括从硬球动力学推导 Boltzmann 方程，以及从非线性色散系统推导波动动理学方程等。他的研究连接着微观粒子运动、气体的统计描述与非线性波动。这也提示了 AI 数学评价中的一个局限：一道问题是否被解决，只能显示结果的一部分。证明是否建立了新的概念联系，是否形成可以迁移的方法，以及是否改变了人们理解问题的方式，同样属于数学成果的核心价值。
另一方面，函数空间的语言也进入了人工智能研究。1989 年，Cybenko 证明，采用连续 S 形激活函数、允许增加隐层宽度的单隐层网络，可以在单位超立方体上一致逼近任意连续函数，达到预先指定的精度，这被称为通用逼近定理（universal approximation theorem）。证明用到了 Hahn-Banach 定理和 Riesz 表示定理。但这类存在性结论并未自动给出高效的训练方法，也不保证训练算法一定找到所需的网络。
神经算子则直接把函数之间的映射作为学习对象。例如，学习从方程的系数或初始条件到解的映射。相关框架希望同一组参数能够用于不同的离散化；这一设计并不保证任意改变网格后，预测精度都保持不变。要讨论误差和收敛，仍须说明函数空间、目标算子和离散化方式等条件。
这些例子说明了学习基础数学的一个朴素理由：无论证明来自人类还是 AI，读者都需要判断它依赖哪些定义和假设，结论能够延伸到什么范围，又会在什么条件下失效。泛函分析提供了描述函数、算子和收敛性的基本语言；其他数学分支也各自提供了不可替代的判断工具。AI 可以加快结果的产生，却不能取消理解这些结果所需的概念基础。
集智俱乐部公众号此前发表过一篇文章《AI 时代，为什么要学泛函分析？》，文中提到，大模型已经能自动推导公式、自动写代码，于是“有了大模型，数学基本功不必再啃”在大学生里流行起来；那篇文章的回答是，工具能替你推导，前提是你给得出正确的问题、判得了它对不对，把“工具替你干活”混同于“你不需要懂”，才是这个说法真正的漏洞。眼下的这场争论，把同一个问题推到了更大的尺度上：AI 都能给出证明了，人还要不要理解它。
泛函分析（二）：
重新理解AI的底层逻辑
集智学园联合东京都市大学贾伊阳老师共同开设「面向应用的泛函分析」第二期课程。本期课程将在函数空间、Hilbert 空间与对偶空间等基础上，把第一期介绍的泛函分析直观概念，发展为可计算、能证明、有助于阅读和写作人工智能领域论文的研究工具。课程共十讲，围绕“算子基础与变分”、“连续深度模型”、“分布与生成模型”和“算子与智能体”四个板块展开。首先讨论解的存在性、稳定性与优化方法，随后进入 Neural ODE、DEQ 等连续深度模型，再从概率测度空间理解扩散模型与流匹配，最终延伸至神经算子、连续注意力、Bellman 算子及多智能体系统，建立泛函分析与现代人工智能之间的系统联系。
详情请见：新课上线｜贾伊阳：泛函分析（二）重新理解AI的底层逻辑
人工智能与数学读书会第二季
人工智能的能力边界正在不断扩张，大模型可以完成复杂对话、辅助科学计算，甚至尝试开展数学推导与定理证明。但光鲜的应用表象之下，AI 的能力上限、推理缺陷与建模困境也逐步暴露。当我们惊叹人工智能的各类能力时，更需要向下追问：是什么构筑起 AI 的能力地基？当 AI 走向科学研究，它又能在数学这片严谨的土地上走多远？想要看透 AI 的优势与短板，就必须回归数学底层，从根源审视人工智能与数学之间相辅相成又彼此制约的复杂关系。
为厘清 AI 在科学与数学领域的机遇与局限，集智俱乐部联合同济大学数学科学学院长聘副教授陈小杨、北京工业大学数学统计学与力学学院副研究员诸葛昌靖共同发起「人工智能与数学」读书会第二季。组织对该主题感兴趣的研究者与探索者共同研读前沿文献、交流研究思路。
读书会将于2026年9月22日起，每周二19:30-21:30线上开展，持续8-10周，包含主讲分享与讨论交流，并提供会后视频回放，诚邀相关领域研究者及跨学科兴趣者参与。
参考资料
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