已知正整数x、y，x²+y²=2025，求x+y
原创 沈沉舟 2026-08-27 23:59 北京
差点当成初中数学题
已知正整数、，，求
有点难，据说是哪年西安交大少年班招生题，不知真假。差点当成初中数学题发给小小四，坑死人。
若是小题，瞪眼法能求一组解，但属于小聪明，不能证明是全解，万一漏解呢？
有个纯数论的快速解法，可推出""。数论解法与瞪眼法不是一回事，大聪明们就别丢人现眼了。
下面这种解法，其实也用了数论，只不过"不纯"，所以"不快"，但胜在有较多初中生能理解的思路。
利用不等式、及正整数约束，易知:
、必是一奇一偶，否则矛盾。是区间的奇数:
设，联立两个方程
是正整数，必是完全平方数。
根据模的二次剩余，必有
(只有唯一平方根)
必是的倍数。在区间的奇数中，用"位和法"检查的倍数，剩下:
仅当时，，是完全平方数。虽然已是整数，还得验证、是整数。
几何视角，联立两个方程，有解，意味着圆与直线有交点。、、是正整数，最小为；相切时；所以。
在之间时，直线与圆均有交点，但不能保证交点是正整数格点。而且的区间不够小，前面分析过，是区间的奇数。
几何视角无法真正求解，因为不是连续直线、连续圆求交点，而是离散直线、离散圆求交点。这是初等数论问题，不是中学几何问题。